天籁之音

虽然我不再梦想揭示数学上的惊人发现，

但我还是努力向这些孩子展示数学的美，

好让他们和我一样听到宇宙的声音。

有一天，或许他们当中的某个会获得一个发现，

尽管我无法理解，却能体会它的优美。

我妹妹露西快四岁的时候，有一天，她在冰箱里找到半只用保鲜膜包裹着的柠檬。

“呀！我还从没见过黄色的橙子呢！”她抓起柠檬张嘴就要咬。

作为哥哥，我有责任告诉她世间的种种危险，于是我向她解释，这种“黄色的橙子”不是直接拿来吃的，“你肯定会后悔的。”我说。

但露西不大相信——我不得不向她演示我是怎样得到这个结论的。

我摘下眼镜给她戴上，虽然爸爸警告过我，说露西太小了，不能盯着增强显示屏看。

我扑哧一笑。眼镜晃晃悠悠地挂在露西的小耳朵和小鼻梁上，跟卡通人物一样可爱。

她惊讶地放大了瞳孔，因为现在无论她看什么，上面都飘浮着一层幽灵般的文字和影像。我把它设置成显示《儿童百科全书》里的内容，而且知道当她望向那只柠檬时眼里会看到什么：一个半透明、循环影像的年轻女子舔完柠檬后扮了个鬼脸；一行滚动文字显示：柠檬汁里有5%是柠檬酸。“那差不多是橙汁酸性成分的五倍。”我卖弄起自己的数学能力，“所以意味着它真的特别酸。”

露西摘下眼镜，随即咬了一口柠檬，当时她脸上的表情实在太怪异了。（当然，后来在父母面前挨骂的是我。）

对于露西来说，理性永远赶不上体验。

我恰好相反。后来我读了数学专业。

我跳了几级，提前进入大学。我对自己的年龄比同学们小这一点颇为紧张，所以入学后我没有住校，而是仍然住在家里。每天下午，露西和我一起坐在餐桌前，她做她的作业，我做我的习题。

“帮帮我，乔。”一天下午她隔着桌子对我说，“你是我唯一的希望。”

她正在做自己的第一道实证题，每一个刚开始学习几何的学生都讨厌这个题目：欧几里得的等腰三角形定律，要求学生证明等腰三角形的两底角相等。

我问她要眼镜，好知道她的老师都给了哪些提示和解题办法。我盯着练习本上的图形，看到她的老师在三角形的两边加了两条辅助延长线，线段BD的长度等于线段CE,这是欧几里得的经典解法，由延长线形成的两个全等三角形可以用于证明。

我把眼镜还给她，开始向她解释怎样以严密有序的方式来思考这个问题。但是露西很快就不耐烦了，在她看来，欧几里得就是个死板的傻瓜。

“只要把它翻过来。”露西打断我说。

“什么？”

“只要把三角形翻过来。”

她用铅笔在纸上把三角形的形状重重地描了一遍，然后撕下那张练习纸，把它翻过来，将镜像图和铅笔在纸上留下的描痕合在一起。

“左边这个角和右边那个角留下的痕迹吻合，所以很明显它们两个相等。这就是证明。”

一时间我真不知道说什么好。这个想法实际上早在欧几里得之后六百年就由亚历山大里亚时期著名的数学家巴普斯提出过，是一种简化得多的证明方法。通过想象这个二维空间的三角形可以被“拾起来”，并在三维空间里“翻转”，它预先采用了现代的对称与变换的办法，但是欧几里得肯定会把这看成作弊。

“啊哈，”露西说，“我就知道，根本用不着麻烦地证明什么愚蠢的全等三角形。”

我反驳道：“你不能这样。古希腊的数学家考虑过你这种方法，他们觉得这样做不行。”

“为什么不行？”

“你的论证依赖于移动图形，但是就你现在的知识水平来讲，还不够充分地定义‘翻转’和‘移动’。你不能用它们进行论证。”

“但那也太蠢了。你看，我刚才做到了。”

“没错，生活中你可以用模型做一些事，但是对于数学来说不顶用，因为数学不是关于模型的。它不依赖于世界上任何东西。数学关心的是仅存于思维当中的逻辑结构。至少，要按你想的那样操作，正常的方法是要使用矩阵和线性变换，这样才能保证以严密的方式把一种状态‘移’至另一种状态。现在还是踏踏实实地来解决全等三角形吧，除非你想让我教你坐标几何。”

当我跟她讲解证明步骤，在三角形上做标记，确定公共边和公共角，引证每一步该用的公理和定理时，她始终憋着一肚子的气，一声不吭。

我喜欢那种豁然开朗时无比幸福的宁静，论证环环相扣，直到最后整合在一起，就像一列多米诺骨牌，最开始一个逻辑性的推动，然后一发不可收拾，漂亮地倒向最后的结论。这是柏拉图式的天籁之音，正因如此我才深爱着数学……