第三百五十章 搞定毕业论文

另一边,华国。

经过一夜的思考,困惑程诺终于对自己的毕业论文有了新的思路。

关于两个引理的运用,程诺有他自己独到的见解。

所以,这天白天的课一结束,程诺便匆匆赶到图书馆,随便挑了一个没人的位置,拿出纸笔,验证自己的想法。

既然将两个引理强加进Bertrand假设的证明过程中这个方向行不通,那程诺想的是,能否根据这两个引理,得出几个推论,然后再应用到Bertrand假设中。

这样的话,虽然拐了个弯,看似比切比雪夫的方法还要麻烦不少。但在真正的结果出来之前,谁也不敢百分百就这样说。

程诺觉得还是应该尝试一下。

工具早已备好,他沉吟了一阵,开始在草稿纸上做各种尝试。

他有不是上帝,并不能很明确的知晓通过引理得出来的推论究竟哪个有用,哪个没用。最稳妥的方法,就是一一尝试。

反正时间足够,程诺并不着急。

唰唰唰~~

低着头,他列下一行行算式。

【设m为满足pm≤2n的最大自然数,则显然对于i>m,floor(2n/pi)-2floor(n/pi)=0-0=0,求和止于i=m,共计m项。由于floor(2x)-2floor(x)≤1,因此这m项中的每一项不是0就是1……】

由上,得推论1:【设n为一自然数,p为一素数,则能整除(2n)!/(n!n!)的p的最高幂次为:s=Σi≥1[floor(2n/pi)-2floor(n/pi)]。】

【因为n≥3及2n/3<p≤n表明p2>2n,求和只有i=1一项,即:s=floor(2n/p)-2floor(n/p)。由于2n/3<p≤n还表明1≤n/p<3/2,因此s=floor(2n/p)-2floor(n/p)=2-2=0。】

由此,得推论2:【设n≥3为一自然数,p为一素数,s为能整除(2n)!/(n!n!)的p的最高幂次,则:(a)ps≤2n;(b)若p>√2n,则s≤1;(c)若2n/3<p≤n,则s=0。】

一行行,一列列。

除了上课,程诺一整天都泡在图书馆里。

等到晚上十点闭馆的时候,程诺才背着书包依依不舍的离开。

而在他手中拿着的草稿纸上,已经密密麻麻的列着十几个推论。

这是他劳动一天的成果。

明天程诺的工作,就是从这十几个推论中,寻找出对Bertrand假设证明工作有用的推论。

……

一夜无话。

翌日,又是阳光明媚,春暖花开的一天。

日期是三月初,方教授给程诺的一个月假期还剩十多天的时间。

程诺又足够的时间去浪……哦,不,是去完善他的毕业论文。

论文的进度按照程诺规划的方案进行,这一天,他从推导出的十几个推论中寻找出证明Bertrand假设有重要作用的五个推论。

结束了这忙碌的一天,第二天,程诺便马不停蹄的开始正式Bertrand假设的证明。

这可不是个轻松的工作。

程诺没有多大把握能一天的时间搞定。

可一句古话说的好,一鼓作气,再而衰,三而竭。如今势头正足,最好一天拿下。

这个时候,程诺不得不再次准备开启修仙大法。

而修仙神器,“肾宝”,程诺也早已准备完毕。

肝吧,少年!

程诺右手碳素笔,左手肾宝,开始攻克最后一道难关。

切尔雪夫在证明Bertrand假设时,采取的方案是直接进行已知定理进行硬性推导,丝毫没有任何技巧性可言。

程诺当然不能这么做。

对于Bertrand假设,他准备使用反证法。

这是除了直接推导证明法之外最常用的证明方法,面对许多猜想时非常重要。

尤其是……在证明某个猜想不成立时!

但程诺现在当时不是要寻找反例,证明Bertrand假设不成立。

切尔雪夫已然证明这一假设的成立,使用反证法,无非是将证明步骤进行简化。

程诺自信满满。

第一步,用反证法,假设命题不成立,即存在某个n≥2,在n与2n之间没有素数。

第二步,将(2n)!/(n!n!)的分解(2n)!/(n!n!)=Πps(p)(s(p)为质因子p的幂次。

第三步,由推论5知p<2n,由反证法假设知p≤n,再由推论3知p≤2n/3,因此(2n)!/(n!n!)=Πp≤2n/3 ps(p)。

……

第七步,利用推论8可得:(2n)!/(n!n!)≤Πp≤√2n ps(p)·Π√2n<p≤2n/3 p≤Πp≤√2n ps(p)·Πp≤2n/3 p!

思路畅通,程诺一路写下来,不见任何阻力,一个小时左右便完成一半多的证明步骤。

连程诺本人,都惊讶了好一阵。

原来我现在,不知不觉间已经这么厉害了啊!!!

程诺叉腰得意一会儿。

随后,便是低头继续苦逼的列着证明公式。

第八步,由于乘积中的第一组的被乘因子数目为√2n以内的素数数目,即不多于√2n/2-1(因偶数及1不是素数)……由此得到:(2n)!/(n!n!)<(2n)√2n/2-1·42n/3。