天籁之音

有一次，我妹妹露西大概4岁的时候，在冰箱里发现了半个包着保鲜膜的柠檬。

“噢，我还从没见过黄色的橙子。”她拿过来准备咬上一口。

作为哥哥，我应该告诉她世界的危险。于是我解释了“黄橙子”不能吃，“你肯定会后悔的”。

可是，露西不信。我只好给她看这个结论是如何得出的。

虽然爸爸警告过我，露西年龄还小，不能观看增强现实视频，可我还是摘下眼镜给露西戴上。

眼镜不太稳当地架在露西的小耳朵和圆鼻子上。我笑起来，她看起来跟卡通形象一样可爱。

现在，视频和文字会幽然叠加在露西视线所及之处，为了看清那些内容，她的瞳孔都在扩大。我已经给她调出《儿童百科全书》，所以知道她转身看着柠檬时，半透明的视频会循环播放一个女孩舔了一片柠檬后被酸得撇嘴皱眉的样子。滚动的字幕显示：柠檬汁含有5%的柠檬酸。“这几乎是橙汁的5倍。”我炫耀着自己的数学水平，“也就是说，柠檬非常酸。”

露西摘下眼镜，毫不迟疑地咬了一口柠檬，她脸上的表情能把人逗死。（当然，最后在父母那儿惹麻烦的还是我。）

对于露西而言，道理永远不及体验。

可我却正好与她相反，所以才念了数学专业。

我跳了几级，提前进入大学。因为害怕比我的同学年龄小太多，大一我就没住在学校，而是住在家里。每天下午，露西和我就坐在餐桌旁，她做作业，我研究我的问题集。

“帮帮我，乔。”一天下午她在桌对面看着我说，“你是我唯一的希望了。”

她头一次做真正的数学证明——每个几何初学者都痛恨的问题，即“欧几里得驴桥定理”，要求学生证明等腰三角形的两个底角相等。

我要来她的眼镜，这样就能看到老师的提示和建议的方法。盯着作业本上的图，老师添加的辅助线若隐若现，三角形的腰被延长，延长的长度BD等于CE。这是欧几里得采用的经典方法。辅助线生成全等三角形，露西可以在证明中使用。

我把眼镜还给她，然后开始解释应该如何一步步严密地解答这个问题。可是露西很快变得不耐烦，在她看来，欧几里得就是一个谨小慎微的傻瓜。

“翻过来就行。”露西打断我说。

“什么？”

“把三角形翻过来。”

她用铅笔重重地划过三角形的轮廓，然后从本子上扯下这页纸，翻过来后，再把已经镜像翻转的三角形跟下一页的划痕叠在一起。

“原来在左侧的角跟三角形划痕右侧的角相同，所以这两个角是相等的。这就是你要的证明。”

我愣了一下，不知道说什么好。她的方法是一种更简练的证明，由亚历山大学派的帕普斯在欧几里得之后约600年提出。想象二维三角形可以被“拿起来”，并在三维空间“翻转”，这种方法过早地使用了现代对称变换，欧几里得会觉得这是投机取巧。

“啊哈。”露西说，“我就知道，没有必要费心琢磨复杂的全等三角形。”

我回过神来：“不能这么证明。希腊数学家曾考虑过你的方法，他们觉得不对。”

“为什么不对？”

“你的证明取决于几何形状的移动，可是以你现在的知识水平， ‘翻转’和‘移动’还没有得到足够充分的定义。你不能把它们当作证明技巧来使用。”

“可这也太说不过去了，你看，我刚刚证明了结论。”

“实际上，你用真实的模型证明没有用，因为数学不是关于模型的，它无关于世界中的任何事物。数学关乎仅存于意识中的逻辑结构。不管怎么样，按照你的想法正确证明，得使用矩阵和线性变换，才能得到从一种状态向另一种状态‘转换’的严格证明。现在你必须得使用全等三角形证明，除非你想让我教你解析几何。”

我给她画出三角形，标出公共边和角，引用恰当的公理和定理，一步一步讲解证明过程，可她一直闷闷不乐。

我喜欢了然于胸的快乐与安宁，每一步证明得出下一步结论，直到最后，全部内容像多米诺骨牌一样排列，你运用逻辑轻轻推动第一块，势必完美引发作为结论的最后一块骨牌倒下。这简直就是柏拉图音乐宇宙[1]的呈现，我对数学的喜爱也正源于此。

露西倒不觉得了不起：“我的证明展示出角度为什么相等，用你的方法太复杂。等我在第三页写下‘证明完毕’时，连要证明什么问题都被我忘了。”

“你只需要练习，过段时间就能够记住，就像直觉一样。暂时忘了翻转图形的方法吧。”

露西不情愿地翻回到图形那一页。“可它确实可以翻转[2]。”她低声嘟囔着说。